3.7 Regions - 章节练习

答案：
求交点：

(1) \( y = x + 1 \) 和 \( y = 7 - x \) 的交点：
\( x + 1 = 7 - x \)
\( 2x = 6 \)
\( x = 3 \)
\( y = 3 + 1 = 4 \)
交点：\( (3, 4) \)

(2) \( y = x + 1 \) 和 \( x = 1 \) 的交点：
\( x = 1 \)，\( y = 1 + 1 = 2 \)
交点：\( (1, 2) \)

(3) \( y = 7 - x \) 和 \( x = 1 \) 的交点：
\( x = 1 \)，\( y = 7 - 1 = 6 \)
交点：\( (1, 6) \)

所有交点：\( (3, 4) \)，\( (1, 2) \)，\( (1, 6) \)

答案：
假设阴影区域是一个三角形区域，被三条直线包围。
根据图像分析，阴影区域满足：
\( y \leq x + 1 \)，\( y \leq 7 - x \)，\( x \geq 1 \)

或者用其他等价形式表示区域。

答案：
首先求各曲线的交点：

(1) 抛物线与直线 \( 2x + y = 0 \) 的交点：
\( y = 2 - 5x - x^2 \)，\( y = -2x \)
\( 2 - 5x - x^2 = -2x \)
\( -x^2 - 3x + 2 = 0 \)
\( x^2 + 3x - 2 = 0 \)
\( (x + 4)(x - 0.5) = 0 \)
\( x = -4 \)，\( x = 0.5 \)

(2) 抛物线与直线 \( x + y = 4 \) 的交点：
\( y = 2 - 5x - x^2 \)，\( y = 4 - x \)
\( 2 - 5x - x^2 = 4 - x \)
\( -4x - x^2 + 2 = 0 \)
\( x^2 + 4x - 2 = 0 \)
\( x = -2 \pm \sqrt{6} \)

根据图像分析，假设阴影区域满足 \( y \leq 2 - 5x - x^2 \) 且 \( 2x + y \geq 0 \) 且 \( x + y \leq 4 \)。

答案：
绘制步骤：
1. 画出 \( y = x + 4 \)（虚线，因为 \( y < x + 4 \)）
2. 画出 \( y = -5x - 3 \)（实线，因为 \( y + 5x + 3 \geq 0 \)）
3. 画出 \( y = -1 \)（实线，因为 \( y \geq -1 \)）
4. 画出 \( x = 2 \)（虚线，因为 \( x < 2 \)）

阴影区域是所有边界内且满足所有不等式的区域。

答案：
求各边界线的交点：

(1) \( y = x + 4 \) 和 \( y = -1 \)：
\( -1 = x + 4 \)，\( x = -5 \)
交点：\( (-5, -1) \)

(2) \( y = x + 4 \) 和 \( x = 2 \)：
\( y = 2 + 4 = 6 \)
交点：\( (2, 6) \)

(3) \( y = -5x - 3 \) 和 \( y = -1 \)：
\( -1 = -5x - 3 \)，\( 2 = -5x \)，\( x = -0.4 \)
交点：\( (-0.4, -1) \)

(4) \( y = -5x - 3 \) 和 \( x = 2 \)：
\( y = -5(2) - 3 = -13 \)
交点：\( (2, -13) \)

所有顶点：\( (-5, -1) \)，\( (2, 6) \)，\( (-0.4, -1) \)，\( (2, -13) \)

答案：
验证每个顶点是否满足所有不等式：

(-5, -1)： \( x = -5 < 2 \) ✓，\( y = -1 \geq -1 \) ✓，\( y = -1 < x + 4 = 1 \) ✓，\( y + 5x + 3 = -1 + 5(-5) + 3 = -1 - 25 + 3 = -23 \geq 0 \) ✗

(2, 6)： \( x = 2 < 2 \) ✗（不满足 \( x < 2 \)）

(-0.4, -1)： \( x = -0.4 < 2 \) ✓，\( y = -1 \geq -1 \) ✓，\( y = -1 < x + 4 = 3.6 \) ✓，\( y + 5x + 3 = -1 + 5(-0.4) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0 \geq 0 \) ✓

(2, -13)： \( x = 2 < 2 \) ✗（不满足 \( x < 2 \)）

只有顶点 \( (-0.4, -1) \) 包含在不等式区域内。

答案：
根据图像分析，阴影区域是一个多边形。
顶点包括：\( (-0.4, -1) \)，以及其他边界交点。

需要计算多边形的面积。假设区域是梯形或其他形状。
由于缺少具体的图像描述，这里提供一般方法：
1. 确定区域的边界线交点作为顶点
2. 使用多边形面积公式：\( \frac{1}{2} \sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \)
3. 或者分解为三角形或梯形计算面积

具体面积需要根据实际图像计算。